Bài 101785

Question

Cho hàm số $y = \frac{{2{m^2}{x^2} + \left( {2 - {m^2}} \right)\left( {mx + 1} \right)}}{{mx + 1}}\,\,\left( 1 \right)$
$1$. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm sô trên $m= -2$
$2$. Chứng minh rằng với mọi $m$ $ \ne 0$, hàm số $(1)$ luôn có cực đại và cực tiểu.
$3$. Chứng minh với mọi $m$ $ \ne 0$,tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $(1)$ luôn tiếp xúc với parabol cố định. Tìm phương trình của parabol đó.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/27/2012 11:48:44 AM

$1$. Bạn đọc tự giải

$2$. $y = 2(mx - 1) + 2 - {m^2} + \frac{2}{{mx + 1}}$ hay $y = 2mx - {m^2} + \frac{2}{{mx + 1}}$
và $y' = 2m - \frac{{2m}}{{{{\left( {mx + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2m\left( {{m^2}{x^2} + 2mx} \right)}}{{{{\left( {mx + 1} \right)}^2}}}$
luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x = 0,\,\,x = \frac{{ - 2}}{m}$$ \Rightarrow \forall m \ne 0$ hàm số luôn có cực đại và cực tiểu.

$3$. $y = 2mx - {m^2}$ là tiệm cận xiên của đồ thị với $m \ne 0$
Tiếp tuyến của parabol $y = {\rm{a}}{{\rm{x}}^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)$tại điểm $\left( {{x_0}, {\rm{a}}{{\rm{x_0}}^2} + bx_0 + c} \right)$
có phương trình $y = \left( {2a{x_0} + b} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + {\rm{ax}}_0^2 + b{x_0} + c$
Nó sẽ trùng với tiệm cận xiên $y = 2mx - {m^2}$ của đồ thị$\left( {{C_m}} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2a{x_0} + b = 2m\\
- {\rm{ax}}_0^2 + c = -{m^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_0} = \frac{{2m - b}}{{2a}}\\
- a{\left( {\frac{{2m - b}}{{2a}}} \right)^2} + c = -{m^2}
\end{array} \right.$
$ \Rightarrow - \left( {4{m^2} - 4bm + {b^2}} \right) + 4ac = - 4a{m^2} \Leftrightarrow \left( {4a - 4} \right){m^2} + 4bm + \left( {4ac - {b^2}} \right) = 0$
phương trình nghiệm đúng với $\forall m \Leftrightarrow a = 1,b = c = 0$.

Đáp số $y = {x^2}$

Bài 101785

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101785

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan