|
|
$1)$
TXĐ: R.
Đặt $t = {2^x},t > 0$ ta có :
$\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{4^x} - {5.2^x} + m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
\Leftrightarrow \,\,\,\,\,f(t) = {t^2} - 5t + m \le 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\\
\,\,\,\,\,\Delta = 25 - 4m,\,\,\,\Delta = 0\,\,\, \Leftrightarrow m = \frac{{25}}{4}
\end{array}$
$a)\,\,m > \frac{{25}}{4}:\,\,\,\,\,\Delta < 0:$ $(2)$ vô nghiệm, do đó $f(t) > 0,\forall t$
$ \Rightarrow $$(1)$ vô nghiệm
$\begin{array}{l}
b)\,\,\,m = \frac{{25}}{4}:\,\,\Delta = 0:\,\,{t_1} = {t_2} = \frac{5}{2}\\
\end{array}$
$f(t) = {\left( {t - \frac{5}{2}} \right)^2}\,\,\, \Rightarrow (1)$ có nghiệm là $x = {\log _2}\frac{5}{2}$
$c)\,\,m < \frac{{25}}{4}:\,\,\,f(t)$ có dấu trên $R$
Do $S = {t_1} + {t_2} = 5 > 0$ nên ít nhất $f(t)$có một nghiệm dương:$\left[ \begin{array}{l}
{t_1} \le 0 < {t_2}\\
0 < {t_1} < {t_2}
\end{array} \right.$
Tập nghiệm của $(2)$ là :$\left( {0,{t_2}} \right]\,\,\,$hoặc$\left[ {{t_1},{t_2}} \right]$
Và do đó :$\left[ \begin{array}{l}
0 < {2^x} \le {t_2}\\
{t_1} \le {2^x} \le {t_2}
\end{array} \right.$
Suy ra: $m \le \frac{{25}}{4}$thì bất phương trình $(1)$ có nghiệm
$2)$
TXĐ: R.
BPT đã cho tương đương
$4^x+5.2^x>-m$.
Đặt $2^x=t>0$ thì BPT đã cho trở thành
$t^2+5x>-m$.
Xét hàm số $f(t)=t^2+5t.$.
Ta có $f'(t)=2t+5>0\forall t>0$ suy ra hàm f đồng biến trên $R_+$.
Ta chỉ cần tìm m sao cho
$-m\le\mathop {\min }\limits_{t\ge 0}f(t)=f(0)$
$\Leftrightarrow -m\le 0$
$m\ge 0.$
Vậy với $m\ge 0$ thì BPT đã cho có nghiệm.
$3)$
TXĐ: R.
Đặt $3^x=t>0$ thì BPT đã cho trở thành
$f(t)=t^2+mt-1<0$
Xét phương trình $f(t)=0.$
Ta có $\Delta_t=m^2+4>0\forall t\Rightarrow $ PT $f(t)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $t_1<t_2$.
Do $P=-1<0$ nên $t_1<t_2$ trái dấu.
Do đó trong khoảng $(t_1;t_2)$ luôn tồn tại t>0.
Khi t trong khoảng đó ta có $f(t)<0.$
Vậy $\forall m \in \,R\,$ bất phương trình có nghiệm.
$4)$
TXĐ: R.
Đặt $3^x=t>0$ thì BPT đã cho trở thành
$f(t)=t^2+mt+1\le0$
Xét phương trình $f(t)=0.$ có $\Delta_t=m^2-4.$
+ Nếu $m^2-4<0\Rightarrow \Delta_t<0$ thì PT $f(t)=0$ vô nghiệm.
Do hệ số a của f(t) là 1>0 nên $f(t)>0\forall t$. Khi đó BPT đã cho vô nghiệm.
+ Nếu $m^2-4=0\Rightarrow \Delta_t=0$ thì BPT trở thành
$t^2\pm2t+1\le 0$
$\Leftrightarrow (t\pm1)^2\le 0\Leftrightarrow t=\pm1.$.
Nếu $m=2\Rightarrow t=-1(L)$
Nếu $m=-2\Rightarrow t=1\Rightarrow x=0$. BPT có nghiệm.
+ Nếu $m^2-4>0\Rightarrow \Delta_t>0$ thì PT $f(t)=0$ có 2 nghiệm $t_1<t_2$ phân biệt.
Ta có $\left\{ \begin{array}{l} S=-m\\ P=1>0 \end{array} \right.$ suy ra $t_1<t_2$ cùng dấu.
BPT $f(t)\le 0$ có nghiệm trong đoạn $[t_1;t_2]$.
Nếu $S=-m<0$ thì 2 nghiệm cùng âm suy ra t<0(L)
Suy ra $S=-m>0\Rightarrow m<0$.
Kết hợp với điều kiện suy ra $m<-2$
Tóm lại BPT đã cho có nghiệm $m \le - 2$
|