Bài 101377

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đề các $Oxyz$, cho các điểm $A\left( {a,0,0} \right);B\left( {0,b,0} \right);C\left( {0,0,c} \right)$. Trong đó $a, b, c$ là các số dương.
$1$. Chứng minh tam giác $ABC$ có ba góc nhọn
$2$. Xác định bán kính và tọa độ tâm của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$
$3$. tìm tọa độ điểm $O’$ đối xứng $O$ qua $(ABC)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/26/2012 11:34:22 AM

$1$. Trước hết chú ý rằng $\cos A = \frac{{A{B^2} + A{C^2} - B{C^2}}}{{2AB.AC}} \Rightarrow \widehat A$ nhọn $ \Leftrightarrow \cos A > 0 \Leftrightarrow A{B^2} + A{C^2} - B{C^2} > 0$
Mà $A\left( {a,0,0} \right);B\left( {0,b,0} \right);C\left( {0,0,c} \right) \Rightarrow A{B^2} = {a^2} + {b^2};B{C^2} = {b^2} + {c^2};C{A^2} = {c^2} + {a^2}$
Nên $A{B^2} + B{C^2} - C{A^2} = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) - \left( {{c^2} + {a^2}} \right) = 2{b^2} > 0 $
$\Rightarrow \widehat {BAC}$ nhọn
Tương tự $\widehat {ABC};\widehat {BCA}$ đều là những góc nhọn. Suy ra tam giác $ABC$ có ba góc nhọn

$2$. Dựng hình hộp nhận $OA, OB, OC$ làm $3$ cạnh thì hình cầu ngoại tiếp hình hộp cũng là hình cầu ngoại tiếp tứ diện $OABC$. Hình cầu này nhận đường chéo $OD$ của hình hộp làm đường kính và đỉnh $D$ của hình hộp có tọa độ $(a, b, c)$, do đó bán kính hình cầu ngoại tiếp là $R = \frac{1}{2}OD = \frac{1}{2}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} $
Và tâm $I$ là trung điểm của $OD, I$ có tọa độ $\left( {\frac{a}{2},\frac{b}{2},\frac{c}{2}} \right)$

$3$. Mặt phẳng $ABC$ có phương trình $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} - 1 = 0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $O$ xuống $(ABC)$ thì đường thẳng $HO$ nhận vectơ pháp $\left( {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right)$ của (ABC) làm vecto chỉ phương. Đường thẳng $HO$ qua $O (0, 0, 0)$ với vecto chỉ phương $\overrightarrow u \left( {\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}} \right)$
$\Rightarrow HO$ có phương trình $x = \frac{1}{a}t;y = \frac{1}{b}t;z = \frac{1}{c}t$
Thế vào phương trình $(ABC)$ ta được $\frac{1}{{{a^2}}}t + \frac{1}{{{b^2}}}t + \frac{1}{{{c^2}}}t - 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}}} \right)t = 1 \Leftrightarrow t = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}$
và H có tọa độ:$\left\{ \begin{array}{l}
x = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\\
y = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}\\
z = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}
\end{array} \right.$
$O’$ là điểm đối xứng của $O$ qua $(ABC)$ $ \Leftrightarrow \overrightarrow {{\rm{OO}}'} = 2\overrightarrow {OH} \Leftrightarrow {x_{O'}} = 2{x_{H'}};{y_{O'}} = 2{y_{H'}};{z_{O'}} = 2{z_{H'}}$
Do đó $O’$ có tọa độ
$x = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};y = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}};z = \frac{{{a^2}{b^2}{c^2}}}{{{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}}}$

Bài 101377

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101377

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan