Bài 101228

Question

Giải các bất phương trình :

$\begin{array}{l}
1)\,\,\,{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{\frac{{6x - 6}}{{x + 1}}}} \le {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^{ - x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\
2)\,\,{\left( {\sqrt 5 + 2} \right)^{x - 1}} \ge {\left( {\sqrt 5 - 2} \right)^{\frac{{x - 1}}{{x + 1}}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\,
\end{array}$

score 0 · Answer 1

$1)$
Điều kiện : $x \ne - 1$
Chú ý: ${a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}}$, do đó :
$(1) \Leftrightarrow \,{\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^{\frac{{6x - 6}}{{x + 1}}}} \le {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 - 1}}} \right)^x} = {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x}$
Do $\sqrt 2 + 1 > 1$ nên bất phương trình tương đương với
$\frac{6x-6}{x+1}\leq x\Leftrightarrow \begin{cases}x>-1 \\ 6x-6\leq x^2+x \end{cases}$hoặc $\begin{cases}x<-1 \\ 6x^2-6\geq x^2+x \end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases}x>-1 \\ x^2-5x+6\geq 0 \end{cases}(2)$ hoặc $\begin{cases}x<-1 \\ x^2-5x+6\leq 0 \end{cases}(3)$
$(2) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x \le 2\,\,\,\,\,\, \vee \,x \ge 3\,\,\,\,\,\,\,\,
\end{array} \right.$
$(3)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x<-1\\ 2\le x\le3 \end{array} \right.$ vô nghiệm.
Vậy $(1)$ có nghiệm là $$\left[ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
- 1 < x \le 2
\end{array} \right.$$
$2)$
Điều kiện : $x \ne - 1$
+ Xét $x=1;(2)\Leftrightarrow 1=1$(đúng)
+ Xét $x\neq1:$
Chú ý: ${a^{ - x}} = \frac{1}{{{a^x}}}$, do đó :
$(2)\Leftrightarrow (\sqrt5+2)^{x-1}\geq \left ( \frac{1}{\sqrt5-2} \right )^\frac{x+1}{x-1}$
$\Leftrightarrow (\sqrt5+2)^{x-1}\geq(\sqrt5+2)^\frac{x+1}{x-1}$.
Do $\sqrt5+2>1$ nên ta có
$x-1\ge \frac{x+1}{x-1}$
$\Leftrightarrow \frac{(x-1)^2-(x+1)}{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow \frac{x^2-3x}{x-1}\geq 0$
$\Leftrightarrow x(x-1)(x-3)\ge 0$
Xét dấu BPT trên ta được $\left[ \begin{array}{l} 0\le x<1\\ x\geq 3 \end{array} \right.(TM)$
Vậy BPT đã cho có nghiệm $$\left[ \begin{array}{l} 0\le x\le 1\\ x\geq 3 \end{array} \right.$$

Bài 101228

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 101228

1 Đáp án

Liên quan

Phương trình - Bất phương trình mũ và Log cơ bản

Giải hệ phương trình, bất phương trình mũ, logarit bằng pp đại số

Lý thuyết liên quan