Ta có $f(x)=\frac{1+\sin x-\cos 2x}{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{\cos 2x}).\tan^2 x}$
$=\frac{\sin x(2\sin x+1)}{\left(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{\cos 2x}\right) \tan^2 x}$
$=\left(\frac{\sin x}{x} \right).\left(\frac{x}{\tan x} \right)^2.\frac{2\sin x+1}{(\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{\cos x}).x}.$
Ta có $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=1, \lim_{x \to 0} \frac x{\tan x}=1, \lim_{x \to 0} \frac{2\sin x+1}{\sqrt{1+\sin x}+\sqrt{\cos x}}=\frac 12$
Suy ra với $x<0$ thì $\lim_{x\to 0^-} f(x)=-\infty$
Tương tự với $x>0$ thì $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$
Vì 2 giới hạn bên phải và trái khác nhau nên $\lim_{x \to0} f(x)$ không tồn tại.