ĐỀ THI HSG HÀ NỘI < sorry THẦN THOẠI NHA ! TAU ĐĂNG LÊN RỒI >

Question

Câu $1$
$a)$ Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn $abc=1$ và $a+b+c=\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
Chứng minh có ít nhất một trong các số $a,b,c$ bằng $1$.
$b)$ Cho n là số nguyên dương. Chứng minh $A=2^{3n+1}+2^{3n-1}+1$ là hợp số.

câu $2$
$a)$ Giải phương trình $x\sqrt{3-2x}=3x^2-6x+4 $
$b)$ Giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3+2xy^2+12y=0\\ x^2+8y^2=12 \end{cases} $

câu $3$
Với các số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn $\frac{1}{a} +\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3$, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+b^2} }+\frac{1}{\sqrt{ b^2-bc+c^2}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ca+a^2}} $

Hệ chuyện 12y qua xong nhân chéo được pt đẳng cấp
Bạn chú ý nhập sao cho đúng. Mỗi câu hỏi đăng 1-3 câu thôi đẻ thuận tiện cho việc tìm kiếm. cảm ơn bạn !

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓ · Answer 1 · 4/10/2015 10:00:39 PM

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

1b

Ta có $2A=2^{3n+2}+2^{3n}+2=4.8^n+3.8^n-2.8^n+2=7.8^n-2(8^n-1)$ chia hết cho 7

mà $(2;7)=1$

=>$ A $ chia hết cho $ 7$

mà $A>7$

=> $A$ là hợp số

Trả lời 10-04-15 10:00 PM

๖ۣۜPXM๖ۣۜMinh4212♓
1

10M 1M

score 5 · Answer 2

Bình chọn tăng 5 Bình chọn giảm

Thế (2) vào (1), PTĐT thành NT được $(x+2y)(x^2-xy+4y^2)=0$

$=> x=-2y$ hoặc $x=y=0$

Thế vào 2 giải tiếp

๖ۣۜDevilღ · Answer 3 · 4/10/2015 6:44:00 PM

Bình chọn tăng 1 Bình chọn giảm

$\sqrt{a^2-ab+b^2}=\sqrt{(a+b)^2-3ab}\geq \sqrt{\frac{(a+b)^2}{4}}=\frac{a+b}{2}$

$P\leq 2\left (\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a} \right )\leq \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} =3$

dòng 2 áp dụng BĐT $\frac{1}{a+b}\leq\frac{1}{4}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right )$

dấu $ ''='' \Leftrightarrow a=b=c=1$

Trả lời 10-04-15 06:44 PM

๖ۣۜDevilღ
1

10M 539K

score 0 · Answer 4

Bình chọn tăng 0 Bình chọn giảm

Bài 1:

a) Ta có: $a+b+c=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}$

$\Leftrightarrow a+b+c=ab+bc+ca$

$\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ca)+(a+b+c)-1=0$

$\Leftrightarrow (a-1)(b-1)(c-1)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}a=1\\b=1\\c=1\end{array}\right.$

Hỏi	09-04-15 11:44 AM
Lượt xem	1751
Hoạt động	10-04-15 10:00 PM

ĐỀ THI HSG HÀ NỘI < sorry THẦN THOẠI NHA ! TAU ĐĂNG LÊN RỒI >

4 Đáp án

=> $A$ là hợp số

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

ĐỀ THI HSG HÀ NỘI < sorry THẦN THOẠI NHA ! TAU ĐĂNG LÊN RỒI >

4 Đáp án

=> $A$ là hợp số

Bạn cần đăng nhập để có thể gửi đáp án

Liên quan