|
|
Đặt $t=\tan x$. Khi đó $x_0 \in \left (k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi
\right ) \Leftrightarrow t_0 \in (0;1)$. Bài toán trở thành: xét phương
trình $f(t)=at^2+bt+c=0$ có ít nhất một nghiệm $t_0 \in (0;1)$
* Nếu $a\neq 0, c\neq 0$. Ta có: $f(0). f(\frac{2}{3} )=c.\left ( \frac{4}{9}a+\frac{2}{3}b+c \right )=\frac{c}{9}
(4a+6b+9c)$
$=\frac{c}{9} \left[ {2(2a+3b+6c)-3c} \right]=-\frac{c^2}{3} <0 $
Vậy phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t_0\in \left ( 0,\frac{2}{3}\right ) $ tức có nghiệm thuộc khoảng $(0;1)$
* Nếu $c=0$, lúc đó phương trình $f(t)=0$ có nghiệm $t_1=0, t_2=\frac{2}{3} $ tức có nghiệm $t_2=\frac{2}{3}
$ thuộc khoảng $(0;1)$
* Nếu $a=0$ . Ta có: $\begin{cases}bt+c=0 \\ 3(b+2c)=0 \end{cases} $
-Nếu $b=c=0$ rõ ràng phương trình $f(t)=0$ có vô số nghiệm tất nhiên có nghiệm trong khảng $(0;1)$.
- Nếu $b\neq 0, t=-\frac{c}{b}=\frac{1}{2} \in (0;1) $
Tóm
lại, $\forall a, b, c$ thỏa mãn $2a+3b+6c=0$ thì phương trình $f(t)=0$
có ít nhất một nghiệm $t_0 \in (0;1)$, tức phương trình
$a\tan^2x+b\tan x+c=0$ có nghiệm $x_0 \in \left (k\pi;
\frac{\pi}{4}+k\pi \right ) $ (đpcm).
|